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“Est-ce la théorie classique avec l’axiome de fondation, ou la théorie des hyperensembles, qui est la vrai théorie des «vrais ensembles?»
(J.-P. Delahaye, 1999, ISBN 2-9029-1894-1, Pour la Science, Belin, p.132)
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A incorporação deste
OBJETO 12 permite prolongar o debate entre as “categorias do entendimento” e a “realidade sensível” (referida por Kant, e outros).
A história dos esforços para formular uma ‘Teoria dos Conjuntos’ permite ao
Visitante do ‘Museu dos Objetos Matemáticos’ (MOM) tomar consciência do lapso lógico, que ainda existe no raciocínio humano, entre aquilo que é designado atualmente por “artificial” e por “natural”. Sobretudo, na questão fundamental de saber,
se «através da Parte, se consegue alcançar o Todo», e vice-versa.
Isto é, se «fragmentar, é o caminho para se chegar ao Todo»; ou, pelo contrário, se esse procedimento (lógico) é já, em si próprio, desde o acto de o fazer, a condenação dessa possibilidade.
Na Grécia Antiga esta questão iniciou-se pela constatação de que, matematicamente, poderiam existir relações entre números que extravasavam a relação entre (dois) ‘números inteiros’. O impacto dessa possibilidade foi tal, que os seus autores se constituíram
numa sociedade secreta para fugirem das repercussões sociais e académicas que eventualmente lhes pudessem ser infligidas.
O caminho tortuoso das desavenças entre os matemáticos, com episódios radicais de recuos e avanços, é uma bela viagem pelos limites do atual raciocínio humano. Que, no caso deste
Objeto 12, vai desde L.Wittgenstein e George Cantor, passando por Bertrand Russel, R.Dedekind, G.Frege, H.Poincaré, E.Zermelo, A.Fraenkel, e John von Neumann, ... até aos “hiperconjuntos” de P.Aczel
et alli.
De um lado, na proposta de
Zarmelo-Fraenkel-von Neumann, uma visão hierárquica do mundo e das coisas, que não permite que um
Conjunto (objeto, coisa, ideia) possa encontrar o interior de si-mesmo.
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« L’ axiome de fondation indique que, partant d’un ensemble, si on prend un des ses éléments (par exemple, une boîte) et qu’on prend un élément dedans, et qu’on prend encore
un élément dedans, etc., alors, nécessairement, ont est obligé de s’arrêter. Autrement dit, il n’existe pas de chaines infinies descendantes…
Î Xn+1
Î Xn
Î X2
Î X1
Î X0. Cet axiome correspond à l’idée que, lorsqu’on passe des êtres vivants aux cellules, des cellules aux molécules, des molécules aux
atomes, des atomes aux quarks, etc., on finit nécessairement pas arriver à um ultime niveau qui n’est plus décomposable. Il interdit aussi qu’un ensemble puisse se retrouver à l’intérieur de lui-même : X0
Î X0. »
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Do outro lado, na proposta de P.Acsel (e de M.Forti e F.Honsell), uma visão menos radical e mais tolerante, em que é possível à ‘singularidade’ (ao
Conjunto), e áquilo que não é decomponível, a auto-consciência e a perpetuidade.
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«Il existe un hyperensemble noté Ω, tel que Ω soit égal a {Ω}. Il existe également un hyperensemble X égal à l’ensemble ayant deux éléments, l’ensemble vide et lui-même, et un hyperensemble «infiniment profond» : {0,{1,{2,{3…}}}}.»
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